Gömböc

Вот еще одна идея экспериментального производства твердого тела с интересными физическими свойствами с помощью FAO CATIA. Речь пойдет о выпуклой однородной оболочке с одной устойчивой точкой равновесия.

Внешний вид: http://www.scientificsonline.com/gomboc.html (и цена :-)).

Идея существования подобного объекта с одной устойчивой и одной неустойчивой точками равновесия была впервые сформулирована профессором В.И. Арнольдом в 1995 году. Практическое воплощение выпуклый однородный объект с одной устойчивой и одной неустойчивой точками равновесия получил в 2006 году. Двумя венгерскими учеными Габором Домокошем (Domokos Gábor) и Петером Варконьи (Várkonyi Péter) был практически создан предмет, относящийся к классу моно-моностатических обьектов названый его создателями Gömböc. Профессор В.И. Арнольд получил Gömböc в подарок на свое 70 летие. В интернете есть большое количество фотографий различных реализаций Gömböc’а разного размера и материала изготовления. Но готового эскиза под SolidWorks или Catia мне найти не удалось.

Признаюсь, все мои попытки создать эскиз Gömböc’а по фотографиям окончились ничем. Получаемый в итоге объект, точь-в-точь воспроизводящий фотоизображения имел в итоге более одной точки устойчивого равновесия.

Остановлюсь чуть подробнее на своих наблюдениях. Например здесь есть описание и видео: http://plus.maths.org/content/story-goumlmboumlc

Прежде всего, если внимательно присмотреться к видео возвращения Gömböc’а к своему устойчивому положению равновесия (у.р.) становится очевидным, что точка у.р. вовсе не точка, а линия. Фактически в основании Gömböc’а лежит прямой круговой цилиндр одна из образующих которого служит в итоге линией устойчивого равновесия. Другое соображение навеянное многократным просмотром видео состоит в том, что хотя Gömböc венгерских инженеров выглядит весьма и весьма эффектно, класс моно моностатических тел может включать в себя объекты более простой конфигурации особенно если отказаться от условия наличия в выпуклом твердом теле только двух точек равновесия.

Итак, по аналогии с Gömböc основа построения – горизонтально расположенный прямой круговой цилиндр. Если его торцевые грани имеют наклон по отношению к оси симметрии цилиндра, то центр масс смещается с геометрической оси, а значит предоставленный свободному качению цилиндр займет в итоге положение, в котором его центр масс (ц.м.) имеет минимально возможную высоту относительно опорной поверхности. Это интуитивно довольно понятно. Любой кто резал огурец под углом к его оси знает как он располагается на разделочной доске будучи просто оставленным на столе. Следующее чего нужно добиться это отсутствия положений равновесия на торцевых поверхностях цилиндра. Для этого достаточно (и необходимо) чтобы проекция ц.м. на боковые грани выходила за геометрическую границу торцев. И наконец последний этап. Положение устойчивого равновесия должно быть точкой, не сегментом прямой (хотя у оригинального Gömböc по наблюдениям это именно так!). Добиться точечного касания можно приданием небольшой сферичности той стороне цилиндра, к которой ц.м. расположен ближе всего.

В итоге такая выпуклая однородная оболочка получается простым пересечением двух сфер разного диаметра и цилиндра. Вот ее изометрический вид:

У этого предмета четыре точки равновесия из которых только одна является устойчивой. Как только моя версия  'Gömböc' будет изготовлена на 3D принтере расскажу о его свойствах подробнее и размещу видео.

Волчок Томсона

Следующим объектом изготовленным на университетском экспериментальном производстве стал волчок Томсона. Замечательная игрушка для детей! Его внешний вид напоминает гриб-шампиньон с круглой шляпкой и ножкой. Особенностью волчка является то обстоятельство, что благодаря действию сил трения волчок при достаточно быстром вращении встает на ножку. Правильно рассчитанный волчок имеет только два положения равновесия одно из которых устойчиво, а другое нет. Без вращения вершина его сферической части, расположенная на оси симметрии является устойчивым положением равновесия. С противоположной стороны — осевое основание ножки - соответственно неустойчивым. Замечательным является тот факт, что вращение все переворачивает в буквальном смысле слова с ног на голову. Неустойчивое положение становится устойчивым, а устойчивое соответственно неустойчивым.

Рис. (а). Эскиз волчка, центр масс располагается чуть левее начала координат, совпадающего с геометрическим центром сферы. 
(б). Внешний вид. Тот факт, что создателем CATIA является авиастроительная организация Dassault Aviation проявляется буквально во всем. Здесь изображение волчка на фоне неба.  

В геометрии волчка нет ничего сложного за исключением того, что устойчивое положение равновесия без вращения должно быть только одно: волчок не должен ложиться на бок, опираясь на поверхность и ножкой и шляпкой одновременно. Достигается это выбором соотношения диаметра шляпки, диаметра ножки и ее длиной. Мои предварительные расчеты были аналитическими — центр масс волчка суть суперпозиция центров масс трех тел: усеченной сферы, цилиндра и конуса (см. рисунок). Теоретически нужное расположение ц.м. может быть достигнуто при достаточно тонкой и длинной ножке, но, во первых такой волчок не встанет на ножку при вращении — момента, создаваемого силами трения будет недостаточно чтобы поднять ц.м. волчка на максимально возможную высоту, во вторых, производство такого волчка технически весьма затруднительно.

Что получилось в итоге и как работает волчок покажу как только будет готово видео.

3D печать внешне симметричного кельтского камня

На прошлой неделе внешне симметричный Кельтский Камень (КК) был изготовлен на 3D принтере в Laboratoires des Sciences Industrielles Corbeil Essonne. Наш КК представляет собой половину эллипсоида вращения, разрезанного вдоль большой полуоси. Он имеет две полностью закрытые полые каверны сферической формы.

Линия, соединяющая их геометрические центры проходит под углом в 15 градусов по отношению к главной оси эллипса. Непосредственно изготовлением занимались инженеры университетского экспериментального производства, за мной были проектировка общей геометрии и представлении рабочих эскизов MEP. Они поделились подробностями и рассказали, что столкнулись с техническими трудностями которые в итоге удалось преодолеть. Одна из них состояла в том, что, так как 3D печать подразумевает послойное наращивание материала, на определенном этапе требуется закрыть каверну созданием своеобразной выступающей «крыши». Но еще текучий материал может провалиться под действием силы тяжести внутрь каверны до стадии затвердевания материала. Что в итоге получилось с нашим КК они не знали и все что можно было сделать, так это вскрыть каверны и посмотреть что же там внутри. Как только готовый КК оказался в руках мы немедленно подвергли его экспериментам. Увы, нас ждало разочарование — КК совершенно симметрично вращался в обоих направлениях. Начались поиски и обьяснения неудачи. Прежде всего нужно было выяснить, что же в итоге содержат каверны воздух или материал? В последнем случае неработоспособность КК обьяснялась бы просто — наш обьект полностью однороден и как следствие симметричен. Из другого наблюдения следовало, что из-за послойного создания 3х мерных обьектов по технологии 3D печати поверхность эллипсоида не является гладкой и имеется крохотная площадка размером примерно 1.5 на 1 мм (размер КК 80 х 25 мм) вместо точки на вершине эллипсоида на сечении малой полуоси.

Итак, план действий ясен. Для начала хочется верить, что с кавернами все в полном порядке. Тогда первое действие - отшлифовать поверхность эллипсоида до гладкого состояния. Это не так просто как может показаться на первый взгляд. Требуется аккуратно сровнять ступеньки и в итоге получить точечную вершину. Как это делалось можно увидеть на фотографиях (ссылка внизу). Но и после этого КК не работал как надо, хотя некоторая ассиметричность во вращении все же появилась. Сделали пару отверстий и добрались до каверн — они оказались пустые как и предполагалось изначально. Тогда последнее возможное обьяснение неработоспособности это слишком малый удельный вес пластмассы из которой изготовлен наш КК. В самом деле, если КК сделан скажем из пенопласта, то никакие каверны существенно повлиять на распределение массы по телу не в состоянии. Чтобы проверить это предположение вкрутили два винта в каналы каверн как показано на фотографиях. После этого КК заработал.

Какие можно сделать выводы?

Метод создания внутренних полностью закрытых воздушных каверн в технологии 3D печати с целью изменения кинематики твердотельного обьекта показал свою работоспособность. В случае с нашим кельтским камнем пластмасса, используемая в технологии 3D обладала довольно низким удельным весом. Как следствие, очевидно, требуется создание каверн заметного характерного размера и их максимально выраженное размещение для достижения требуемой кинематики твердого тела.

Фотографии КК можно посмотреть здесь:

https://plus.google.com/100158140465119623760/posts/EHpri8ZQxgv

Видео:

 

A technology of mass distribution formation with aid of internal cavities

3D technology of solids production by means of laser's step-by-step propagation in the third (volumetric) direction can be used for nontrivial masses distribution of the whole object. The background idea of such technology is in creation of internal - totally closed hollows. Their dislocations, geometry and orientations might be arbitrary.

Being involved in CATIA V5 engineering software study and the following 3D print I'd like to demonstrate here my vision, perspectives and benefits of the approach of mass distribution formation by creation of internal hollows in process of solids level-by-level growth.

Example: The Rattlebacks (Celts) 3D printing

The Rattleback or Celt is a semi ellipsoid, which axis of mass symmetry does not coincide with geometrical symmetry. By means of it the solid possesses the following mechanical feature: it turns simply in one direction (direction of 'lighter part') and does not in opposite. Well, being turned in 'wrong way' it stops, oscillates and finally turns into another. There are many excellent references in the internet showing detailed explanation and physics of this phenomenon. It is very well known in theoretical mechanics during centuries. To get the described non-symmetry one normally adds two masses in the Celt's plane whose joining line has a small, usually 10-15 degrees deviation from the ellipse large axle. Or the same effect can be obtained by small tilt of the plane relative to vertical axis of rotation. Being students, we played with the last one in practice of the theoretical mechanics course in the Moscow state University.

Nowadays 3D printing technology brings into the world of Rattlebacks one new amazing thing: for an external observer the Celt canbe totally symmetric. The described above ways of the mass non-symmetric distribution are relatively easy to detect. It is very well seen externally and usually unprepared person explains the Celt's behavior by it's non-symmetry. But how the same person will explain the physics of externally totally symmetric Celt?

 

Here are my CATIA's figures of internal hollow spheres distribution and production technology (not shown). The software makes preliminary calculations of the center of mass position, moments and principal axes of inertia.

 

50й салон Le Bourget: без прорывов и сенсаций

  С 17го по 23е июня в Le Bourget проходил 50й, юбилейный салон авиационной и космической техники. Фотографии с салона можно посмотреть здесь:

https://plus.google.com/photos/100158140465119623760/albums/5891653474460969953?authkey=CL2AzYTIoKfd6AE

Первые четыре дня двери выставки были открыты для профессионалов, широкой публике были отведены три последних дня с пятницы по воскресенье. У меня было приглашение от EADS на четверг 20.06.

Демонстрационные полеты

Во второй половине дня состоялись несколько демонстрационных полетов два из которых были российскими. Первым в небо поднялся вертолет Ка-52 «Аллигатор». Аппарат красивый, в небе показал себя прекрасно, разные фигуры пилотажа в его исполнении оставили самое положительное впечатление. Два соосных винта противоположного вращения хорошо видны в полете. Затем был французский «Рафаль», Аэробус А350 и СУ-35. Демонстрационные полеты сверхзвуковых военных самолетов я видел впервые и не могу сказать что был сильно ими впечатлен. Если обстрагироваться от технических деталей и фигур высшего пилотажа, то впечатление от полетов можно выразить простой фразой - «Иерихонская труба в небе». Носится над головой с жуткими раскатами звука этакая конструкция из двух труб, именуемая самолетом. Во времена Леонардо Де Винчи было подмечено что в природе все эффективное элегантно и просто. Про современные сверхзвуковые самолеты военного назначения такого никак не скажешь. Глядя в небо ясно лишь то, что сверхзвуковая реактивная авиация находится в самом начале своего развития.

Субьективно СУ-35 выглядит элегантнее своего конкурента «Рафаля». Внешнее отличие в большом треугольном крыле и однокилевом оперении у последнего. Но что действительно впечатляет, так это полеты на малой высоте таких монстров как двухпалубного Airbus A380. При маневрах самолета над головой зависает огромный предмет весом около 650 тонн заслоняющий собой половину неба. Пару секунд ни звука ни движения.

Это действительно стоило посмотреть своими глазами.

Airbus A350

В павильоне EADS представлен интерьер кокпита Airbus A350. Два кресла пилота, перед ними 5 жидко-кристаллических дисплея, по краям джойстики управления, между сиденьями панель приборов с ручками акселератора. Сразу бросается в глаза клавиатура с TouchPad на поворотной подставке. Таких клавиатур для каждого из пилотов я насчитал целых четыре. Основная клавиатура QWERTY не AZERTY как это принято во Франции. Не могу сдержать улыбку по этому поводу. Интересуюсь у холеного стендиста, явно довольного собой и своим полосатым костюмом раскладкой клавиатуры. Мой вопрос застал его в расплох. Он что-то стал витеивато обьяснять, ссылаясь не то на экспортный вариант, не то на международные стандарты в авиации. На мой следующий вопрос что будут делать пилоты когда отключится питание ЖК дисплеев и они останутся совсем без информации в критической ситуации стендист ответить не смог. Надо заметить, что ни одного механического индикатора режима полета в кабине пилотов нет. Видимо сценарий полного отключения ЖК матриц не предполагается. А зря. Представляю себе картину как красавица-стюардесса приносит в кабину пилотов горячий кофе с сахаром (непременно с сахаром это очень важно для максимального ущерба для электроники) и нечаянно, повинуясь легкой качке, проливает кофе на клавиатуру, а заодно и на безупречно выглаженные штаны пилота. Оба с секунду стоят молча, стюардесса бросается вытирать салфетками кнопки, капитан матерится, кнопки залипают и перестают работать. Но есть еще второй пилот со своей клавиатурой и TouchPad'ом скажете вы. Да есть. В лучшем случае весь остаток пути капитан будет говорить второму пилоту что тот должен напечатать, а в худшем? Смешно? Нет, грустно. Если раньше никогда не боялся летать на самолетах пусть даже вниз головой, то кокпит Аэробуса A350 породил животный инстинктивный страх. Мое личное мнение — пилот должен пилотировать, а не водить пальчиком по TouchPad'у и строчить SMS сообщения, всецело полагаясь на электронику. А электроника дает сбой регулярно. Свежий пример, жесткая посадка Боинга 777 в аэропорту Сан-Франциско 6го июля 2013. Официальная причина падения — недобор скорости и сваливание на предельно низкой высоте. При этом пилоты были абсолютно уверены в том, что посадочная скорость расчетная для данного типа ЛА (137 узлов).

Есть что-то глубоко неправильное в том, как люди фанатично увлечены развитием информационных технологий. У компьютера есть свое предназначение и место в нашей жизни, но на сегодняшний день, увы, его возможности и перспективы применения сильно преувеличены.

 Подарили сыну на день рождения радиоуправляемый самолет. Вещь забавная, пока Максим бегает по полю с пультом управления в руках, лежу на траве, пытаюсь погреться в лучах такого холодного в этом году весеннего солнца и предаюсь размышлениям. Наш пенопластовый самолет в полете - наглядная иллюстрация по аэромеханике. Вот модель с горизонтального полета, потеряв скорость, устремляется по-утиному к земле. Еще немного и удар о землю обеспечен. Как говорят в авиации «и полон рот земли», но нет, буквально в двух-трех десятках сантиметров от лужайки модель снова переходит в горизонтальный полет. Максим с радостным криком бежит ко мне, папа, папа ты видел, ты видел? Как это так он полетел? - «Эффект экрана» отвечаю, хотя знаю, что такое обьяснение ему ни о чем не говорит. Самолет снова и снова стабилизируется у самой земли примерно на одной и той же высоте, соответсвующей длине хорды крыла. Поверхность всякий раз отражает модель как пружина но, очевидно, не при всех углах приземления. Крутое пикирование эффект экрана конечно не остановит. Попутно замечаю, что если модель летит с креном в 90 градусов, то удар о землю почти всегда обеспечен. Не зря я испугался такого положения самолета в своем первом полете с Жаном Луи! Смешно, но аналогия не совсем уместна. У нашей с Максимом модели нет закрылков и сооветственно эффективных способов управления углом крена. По краям лужайки высокие, метра по три кипарисы подстрижены в форме гиганских цилиндров. Самолет Максима по крутой дуге приближается к одному из них и внезапно закручивается, как будто между кипарисом и самолетом есть невидимая нить. Максим опять удивлен, это не его пилотирование привело к таким красивым виражам, но тогда что? Все обьяснаяется просто: модель самолета очень и очень легкая и оказывается без труда следует линиям тока. Еще одна немаловажная конструктивная особенность модели - два тянущих электродвигателя, включение-выключение которых позволяет переходить в полете с одной линии тока на другую.

..В начале первой мировой войны немецкие летчики летавшие на устаревших моделях Taube тем не менее имели определенное преимущество в воздухе по причине отличной подготовки летного состава. Секрет их мастерства скрывался во многих часах одиночных полетов на планерах, безмоторных самолетах, дающих ни с чем не сравнимое очущение полета и так ценимое в среде профессионалов «чувство крыла». С теми частными пилотами с которыми мне доводилось разговаривать в один голос говорят об этом. «На моторе» летать одно, а совсем без тяги совсем другое. «Попробуй, не пожалеешь» - приходилось слышать от каждого второго. Мне не доводилось, хотя удобным случаем воспользуюсь неприменно. Но планер зависит от капризов природы как никакое другое траспортное средство. Мучительно тянутся часы ожидания, сводки метеопрогноза просматриваются на неделю вперед и может быть повезет с погодой на этой неделе, а может и нет. Обычно на ожидание просто нет времени и мечта о полетах на планере так и остается мечтой.

На фотографии кокпит планера фирмы 'Aerospace Engineering' . Этот планер имеет техническую изюминку, а именно складывающийся и убирающийся в носовую часть винт. Планер оборудован парашютной системой. По центру под панелью приборов видна красная ручка сброса остекления кабины.

The Rubic's cube: parity cases study

 The 4x4x4 cube has an exciting feature so-called 'parity' caused by possibility of dynamically changing facets location. In that type of the cube one can put each facet's center in an arbitrary position. That can be done for any even type of the Rubic's cube: 4x4x4, 6x6x6, 8x8x8 etc. By definition, a 'parity' is a situation when the cube being passed to 3x3x3 configuration, i.e. four internal elements forming the centers are in their right positions and all edge elements are doubled, cannot be solved as 3x3x3 cube thereafter. One of such parity cases is shown in the last photo of the post 'Again about the cube Rubic' by 08.04.2010. This parity is not the only one: there is a second, shown in the first photo. A proof that they are different is simple: the second type keeps right edge elements orientation whereas the first does not.

From the other hand, the second parity's type is also expressed by the three angle elements dislocation (second photo).

 One can easily transform it to the edge parity case by methods mentioned e.g. here: http://youcandothecube.com

What is the nature of the 4x4x4 cube's parity?
Well, whereas 3x3x3 cube possesses 9 degrees of freedom (DF), 4x4x4 one has 12. Additional 3 DFs let making inversion of the edge elements as shown in the third photo. Knowing the mechanism that forms these combinations we may conclude - there are two and only two types of the 4x4x4 cube's parity - all other combinations of the edge elements dislocation either lead to an ordinary cube's state meaning that no parity at all or lead to the known 2 situations shown above.

I thank my colleague Rafael Lago for the cube's combinations discussion and agreeably passed time around table tennis matches.


P.S. Recently we discussed with Rafael a topic that might be titled as 'Double parity means no parity?'. Indeed, if we double the first or the second cube's parity situation does it mean that we come to a proper cube's state? Well, we experimentally checked that this is truth.