Задача о центрально симметричной подвижной системе шестерен

       На прошлой неделе коллеги из 3DFlab в Montmagny познакомили с одной инженерной идеей по их словам пришедшей из Америки. Мне показали изготовленный на 3D принтере додекаэдр на каждой грани которого вращается коническая шестерня. Зубья каждой шестерни входят в зацепление с шестернями на соседних гранях. Вращение любой из шестерен, по идее, должно приводить в движение шестерни всех граней многогранника.

Как мне объяснили общая идея состоит в создании системы взаимосвязанных конических шестерен которые должны составлять 3х мерный объект, обладающий свойством как минимум центральной симметрии. Вращение любой из шестерен должно приводить в движение все шестерни 3х мерного объекта. Идея заинтересовала и вот некоторые мои соображения на эту тему.

       Возвращаясь мысленно к додекаэдру что мне довелось подержать в руках, решил рассмотреть правильные многогранники и систему идентичных конических шестерен расположенных на каждой из граней. Так как любые две шестерни в зацеплении вращаются в противоположные стороны, то единственно возможным вариантом является тот, в котором участвует четное число шестерен находящихся в круговом зацеплении. Это означает, что в каждой вершине многогранника должно сходиться четное число граней, иначе круговая система шестерен окажется заблокированной. Очевидно, таким свойством обладает единственно возможный многогранник — октаэдр. Из всех пяти правильных многогранников существующих в природе только у октаэдра в каждой вершине сходится четное (4) число граней.

Рис. 1 Бумажный октаэдр

На рисунке 1 показан его макет из бумаги. Приклеенные круги на каждой из граней имитируют конические шестерни, при этом одинаковые цвета (желтый или розовый) обозначают вращение в одну сторону. Поскольку никакие две «шестерни» одного цвета не находятся в контакте друг с другом, то система является подвижной и вращение любой из шестерен приведет во вращение все остальные.

Для создания эскиза (.stl) для 3D принтера оказывается полезным следующее наблюдение: система шестерен расположенных в форме октаэдра по сути это четыре одинаковые оси с парными коническими шестернями на каждой. При этом каждая такая ось вращается как твердое тело. Можно было бы изготовить четыре оси с неподвижными шестернями на каждой но, к сожалению, это решение технически невыполнимо: оси пересекаются в центральной точке и таким образом не могут вращаться независимо друг от друга. 

Рис. 2  Система конических шестерен в форме октаэдра

На рисунке 2 показан 3-х мерный эскиз системы 4-х осей с коническими шестернями образующие октаэдр. Если же отказаться от идентичности конических шестерен, условия кругового зацепления или даже расположить их перпендикулярно граням образующего многогранника то можно построить настоящие произведения искусства: http://bugman123.com/Gears/

P. S. Система конических шестерен на гранях додекаэдра в 3DFlab не вращалась. Пять шестерен в круговом зацеплении блокировали друг друга.