Задача о центрально симметричной подвижной системе шестерен

       На прошлой неделе коллеги из 3DFlab в Montmagny познакомили с одной инженерной идеей по их словам пришедшей из Америки. Мне показали изготовленный на 3D принтере додекаэдр на каждой грани которого вращается коническая шестерня. Зубья каждой шестерни входят в зацепление с шестернями на соседних гранях. Вращение любой из шестерен, по идее, должно приводить в движение шестерни всех граней многогранника.

Как мне объяснили общая идея состоит в создании системы взаимосвязанных конических шестерен которые должны составлять 3х мерный объект, обладающий свойством как минимум центральной симметрии. Вращение любой из шестерен должно приводить в движение все шестерни 3х мерного объекта. Идея заинтересовала и вот некоторые мои соображения на эту тему.

       Возвращаясь мысленно к додекаэдру что мне довелось подержать в руках, решил рассмотреть правильные многогранники и систему идентичных конических шестерен расположенных на каждой из граней. Так как любые две шестерни в зацеплении вращаются в противоположные стороны, то единственно возможным вариантом является тот, в котором участвует четное число шестерен находящихся в круговом зацеплении. Это означает, что в каждой вершине многогранника должно сходиться четное число граней, иначе круговая система шестерен окажется заблокированной. Очевидно, таким свойством обладает единственно возможный многогранник — октаэдр. Из всех пяти правильных многогранников существующих в природе только у октаэдра в каждой вершине сходится четное (4) число граней.

Рис. 1 Бумажный октаэдр

На рисунке 1 показан его макет из бумаги. Приклеенные круги на каждой из граней имитируют конические шестерни, при этом одинаковые цвета (желтый или розовый) обозначают вращение в одну сторону. Поскольку никакие две «шестерни» одного цвета не находятся в контакте друг с другом, то система является подвижной и вращение любой из шестерен приведет во вращение все остальные.

Для создания эскиза (.stl) для 3D принтера оказывается полезным следующее наблюдение: система шестерен расположенных в форме октаэдра по сути это четыре одинаковые оси с парными коническими шестернями на каждой. При этом каждая такая ось вращается как твердое тело. Можно было бы изготовить четыре оси с неподвижными шестернями на каждой но, к сожалению, это решение технически невыполнимо: оси пересекаются в центральной точке и таким образом не могут вращаться независимо друг от друга. 

Рис. 2  Система конических шестерен в форме октаэдра

На рисунке 2 показан 3-х мерный эскиз системы 4-х осей с коническими шестернями образующие октаэдр. Если же отказаться от идентичности конических шестерен, условия кругового зацепления или даже расположить их перпендикулярно граням образующего многогранника то можно построить настоящие произведения искусства: http://bugman123.com/Gears/

P. S. Система конических шестерен на гранях додекаэдра в 3DFlab не вращалась. Пять шестерен в круговом зацеплении блокировали друг друга.

Airbus A380: ten years in the air. One sudden fact from the Nature

The most pronounced lunar gravitation effect on the Earth consists in presence of tidal floods. But one may note that it has also a modest effect in daily airflights. The effect is meaningful for heavy airjets like Airbus A380 or An-225 Mriya. Assuming the full takeoff weight of A380 to be 560 tons the lunar gravitation force makes the airplane lighter for 18.58 N or almost 2 kg. In another words one handcase becomes free of charge if the Moon passes its way above the flying A380.

Les structures cellulaires intégrées aux objets solides

Les structures cellulaires intégrées aux objets solides en changent les
propriétés mécaniques de manière surprenante.

De temps à autre, au sein de notre entreprise (Care Pro), nous réalisons des expériences sur ces objets aux structures cellulaires.
 L'objectif principal est la diminution de frais matériels, néanmoins, ces structures cellulaires internes permettent la création d'un large éventail d'objets divers possédant d'étonnants comportements .
Le vide des cellules, ainsi que leur distribution complexe permettent de changer la matrice d'inertie de l'objet.

Un de nos objets 3D imprimés est l'analogue d'une pierre celtique, en le
plaçant sur une surface plane, il ne
tourne ni d'un côté ni de l'autre. Plus précisément, si on le tourne,
l'objet s'arrête, change le sens de rotation, s'arrête encore,
 change de direction etc.
 En effet l'explication mécanique tient en un jeu de courbures de la surface de l'objet,
matrice d'inertie et position de centre de masse.
Il est très intéressant de constater que toutes les possibilités de mouvement, de ces objets aux structures cellulaires intégrées, n'ont pas été exploitées en début d'année 2015.

Optimisation of furniture cost made by the plastic laser polymérisation technology

The cost of fitments made by 3D printers depends mostly upon the material price.
 In contrast with the traditional productions ways where an object's production price is
 a result of the used material cost, fabrication and processing, the laser polymerization
 technology prime cost has only two components: the used material amount and time of fabrication. The time
 is defined by the objet overall dimensions and the printer heads width. A 3D printer laser head polymerize each next level in one or many head's passes. Number of them is a factor defining the total fabrication time.

 Concerning the second component - the material cost, since the geometrical complexity
 is not a matter of the laser polymerization fabrication process the less used material
 the less prime cost is. Hence the general idea consist in construction of complex geometries that keep
 the object mechanical properties tolerable from the daily maintenance point of view. For example added hollows may essentially reduce a
 product final price.
 The figures show one example. This is a 3D fabricated door's handle. In spite of many hollows it has sufficient torsion strength.

Солнечное затмение 20.03.2015

В этот раз пишу на двух языках - на русском и французском.
Французский для моих подписчиков так получилось что все они франкоговорящие.
Сегодня над Парижем произошло частичное солнечное затмение.
Всех кто ждал это событие с фотоаппаратами и телескопами ждало, увы,
разочарование. Утреннее небо Парижа было покрыто густой облачностью
сквозь которое солнечный диск увидеть не представлялось возможным.
Намного больше повезло тем, кто имел возможность на частном самолете
подняться выше зоны облаков. Утренняя смена выдалась тяжелой
для авиадиспетчеров. Тем же у кого не было никакой возможности
приподняться над грешной землей оставалось лишь зафиксировать затмение
на часах и по тому, насколько непривычно пасмурным выдался сегодняшний день.
Моим детям в коллеже и школе выдали две забавные бумажки-напоминания об опасности попыток
увидеть солнечное затмение своими глазами. Кому интересно почитать вот текст:


И все же солнечное затмение довольно интересное природное явление чтобы
обойти его вниманием. Целевая аудитория моего блога дети (и взрослые :-)), вообще
свой блог я создавал в расчете на своих детей. Но аудитория оказалась намного шире чем
предполагалось чему, не скорою, я безмерно рад. Всегда приятно осознавать что то, о чем ты думаешь
и пишешь интересно другим людям. Спасибо вам Читатели.
Но вернемся к затмению. Еще вчера было задано столько вопросов что, отвечая на них можно
написать целую книгу. Часть ответов есть в Википедии . Например, когда затмение затронет
Францию в следующий раз? Не в таком уж отдаленном будущем, так что повторить попытку увидеть это явление своими глазами
теоретически возможно. Вообще, говорю им, затмения в голове случаются куда чаще чем на небе. А если
собрать вместе в одном помещении с десяток людей то вообще просвета видно не будет. Но когда стохастически
все же просвет появляется на мгновение то это называется словом "сонсенсус".
А как еще объяснить детям этот термин? Затмение как феномен очень даже подходит в качестве объяснения.
Так как же показать сегодняшнее затмение детям? (нет, не в голове). К вечеру
появятся фотографии в интернете а пока использую программу 'la carte du ciel' (карта звездного неба) в мобильном телефоне и планшете.

Картинки не настоящие конечно но, согласитесь, довольно выразительные. А самое главное по ним
в режиме реального времени можно следить за прохождением диска Луны по Солнцу. Все замечательно,
за исключением непривычного глазу соотношения диаметров дисков Луны и Солнца. Программа не соблюдает угловые размеры
небесных объектов что наглядно видно на приведенных ниже снимках экранов планшета и мобильного телефона.

Croisettes et zéros 3D

Récemment je me suis heurte avec 3D version d'un jeux que tout le monde sait bien et joua au moins une fois dans sa vie.

Ce jeux connu comme 'croisettes et zéros' est suivant: on doit déplacer trois (en cas de carre 3x3 en plan) croisettes ou zéros en ligne verticalement, horizontalement ou en diagonale. Le premier qui fait ça gagne.

Il y a une stratégie gagnante, plus précisément sans perte. En effet le jeux commence toujours par l'occupation du champs central, c'est l'emplacement de clé. Admettons que les croisettes font son tour en premier, donc un croix est au milieu de carre ; puis, de son côté, les zéros ont le choix soit occuper une place que se trouve au milieu de côté, soit un de quatre coins (fig. 1).

 

 Dans le premier cas les croisettes gagnent: il suffit d'occuper une place sauf coins. Le deuxième cas peut mener a une partie nulle comme sur la figure 2. De toute façon les croisettes ne perdent pas – le premier qui commence une partie en occupant la place centrale ne perd pas.

La version 3D permet passer en troisième dimension - il fait faire encore trois fiches en ligne. Chaque niveau se considérer comme dans le cas tabulaire plus tout les plans verticales et déjà diagonales si on peut construire un droit placé sur premier, deuxième et troisième étages (figure 3).

Cette 3D modification du jeux 'croisettes et zéros' a une stratégie gagnante aussi. Si dans le premier niveau la partie a fini nullement, les croisettes simplement font son tour au milieu de deuxième niveau. Pour éviter une perte, les zéros doivent placer sa fiche tout a haut de la colonne centrale. Puis, les croisettes occupent n'importe

quelle place sur deuxième étage encore en évitent de coins.

De cette manière les croisettes gagnent toujours : if suffit d'occuper la colonne centrale dans le premier niveau et, quand il est complet, occuper la position centrale dans le deuxième (fig. 4).

Gömböc

Вот еще одна идея экспериментального производства твердого тела с интересными физическими свойствами с помощью FAO CATIA. Речь пойдет о выпуклой однородной оболочке с одной устойчивой точкой равновесия.

Внешний вид: http://www.scientificsonline.com/gomboc.html (и цена :-)).

Идея существования подобного объекта с одной устойчивой и одной неустойчивой точками равновесия была впервые сформулирована профессором В.И. Арнольдом в 1995 году. Практическое воплощение выпуклый однородный объект с одной устойчивой и одной неустойчивой точками равновесия получил в 2006 году. Двумя венгерскими учеными Габором Домокошем (Domokos Gábor) и Петером Варконьи (Várkonyi Péter) был практически создан предмет, относящийся к классу моно-моностатических обьектов названый его создателями Gömböc. Профессор В.И. Арнольд получил Gömböc в подарок на свое 70 летие. В интернете есть большое количество фотографий различных реализаций Gömböc’а разного размера и материала изготовления. Но готового эскиза под SolidWorks или Catia мне найти не удалось.

Признаюсь, все мои попытки создать эскиз Gömböc’а по фотографиям окончились ничем. Получаемый в итоге объект, точь-в-точь воспроизводящий фотоизображения имел в итоге более одной точки устойчивого равновесия.

Остановлюсь чуть подробнее на своих наблюдениях. Например здесь есть описание и видео: http://plus.maths.org/content/story-goumlmboumlc

Прежде всего, если внимательно присмотреться к видео возвращения Gömböc’а к своему устойчивому положению равновесия (у.р.) становится очевидным, что точка у.р. вовсе не точка, а линия. Фактически в основании Gömböc’а лежит прямой круговой цилиндр одна из образующих которого служит в итоге линией устойчивого равновесия. Другое соображение навеянное многократным просмотром видео состоит в том, что хотя Gömböc венгерских инженеров выглядит весьма и весьма эффектно, класс моно моностатических тел может включать в себя объекты более простой конфигурации особенно если отказаться от условия наличия в выпуклом твердом теле только двух точек равновесия.

Итак, по аналогии с Gömböc основа построения – горизонтально расположенный прямой круговой цилиндр. Если его торцевые грани имеют наклон по отношению к оси симметрии цилиндра, то центр масс смещается с геометрической оси, а значит предоставленный свободному качению цилиндр займет в итоге положение, в котором его центр масс (ц.м.) имеет минимально возможную высоту относительно опорной поверхности. Это интуитивно довольно понятно. Любой кто резал огурец под углом к его оси знает как он располагается на разделочной доске будучи просто оставленным на столе. Следующее чего нужно добиться это отсутствия положений равновесия на торцевых поверхностях цилиндра. Для этого достаточно (и необходимо) чтобы проекция ц.м. на боковые грани выходила за геометрическую границу торцев. И наконец последний этап. Положение устойчивого равновесия должно быть точкой, не сегментом прямой (хотя у оригинального Gömböc по наблюдениям это именно так!). Добиться точечного касания можно приданием небольшой сферичности той стороне цилиндра, к которой ц.м. расположен ближе всего.

В итоге такая выпуклая однородная оболочка получается простым пересечением двух сфер разного диаметра и цилиндра. Вот ее изометрический вид:

У этого предмета четыре точки равновесия из которых только одна является устойчивой. Как только моя версия  'Gömböc' будет изготовлена на 3D принтере расскажу о его свойствах подробнее и размещу видео.